การหาห.ร.ม. และค.ร.น.

1. ห.ร.ม. (ตัวหารร่วมมาก) คือ จำนวนเต็มที่มากที่สุด ซึ่งหารเลขในกลุ่มนั้นทั้งหมดได้ลงตัว ( "กลุ่ม" หมายถึง เลขตั้งแต่ 2 จำนวนขึ้นไป) หรืออาจกล่าวได้ว่า ห.ร.ม. คือ จำนวนเต็มที่มากที่สุด ที่เป็นตัวประกอบร่วมของจำนวนเหล่านั้น
2. ค.ร.น. (ตัวคูณร่วมน้อย) คือ จำนวนเต็มที่มีค่าน้อยที่สุด ซึ่งเลขในกลุ่มนั้นทั้งหมดหารมันลงตัว
วิธีหา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. มีอยู่ 2 วิธีใหญ่ๆ คือ
1. วิธีแยกตัวประกอบ
18 = 2 * 3 * 3
45 = 3 * 3 * 5
ตัวประกอบร่วม คือ 3 และ 3
ดังนั้น ห.ร.ม. คือ (3 * 3) = 9
ส่วน ค.ร.น. คือ (3 * 3 * 2 * 5) = 90
หรือ คือ (ห.ร.ม. * 2 * 5) = 90
2. วิธีตั้งหาร



เนื่องจากวิธีตั้งหาร เป็นการแยกตัวประกอบอยู่แล้ว
เพราะฉะนั้น เราพบว่า 18 กับ 45 ทั้งสองตัวนี้ถูก 3 หารลงตัวได้เท่ากับ 6 กับ 15 และทั้งสองตัวนี้ก็ถูก 3 หารลงตัวอีกครั้งเช่นกัน ดังนั้นตัวหารที่มากที่สุด (ห.ร.ม.) คือ 9 เพราะ 3 * 3 = 9
และ ค.ร.น. ของ 18 กับ 45 ก็คือ 90 หาโดยการนำตัวเลขที่อยู่ด้านนอกทั้งหมดคูณกัน (เพราะวิธีตั้งหาร คือ การแยกตัวประกอบ) นั่นคือ 3 * 3 * 2 * 5 = 90 หรือกล่าวได้ว่า ค.ร.น. เท่ากับ ห.ร.ม. คูณด้วยตัวที่เหลือนั่นเอง ดังเช่น 9 * 2 * 5 = 90

ข้อสังเกต (สำคัญ)
1. สำหรับเลข 2 จำนวนใดๆ เราพบว่า หากนำห.ร.ม. คูณกับ ค.ร.น. จะเท่ากับผลคูณของเลขสองจำนวนนั้นนั่นเอง (ห.ร.ม. คูณ ค.ร.น. มีค่าเท่ากับผลคูณของจำนวนทั้งสอง)
เช่น 18 * 45 = 9 * 90
เพราะ (2*3*3) * (3*3*5) = (3*3) * (3*3*2*5)
2. เรื่องเศษส่วน สำหรับการทำเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ (มีค่าตัวเลขต่ำสุด) เราทำได้โดยนำ ห.ร.ม. ของทั้งเศษและส่วน มาตัดทอน (หาร) ให้เป็นเศษส่วนอย่างต่ำได้ เช่น 12/16 เราพบว่า ห.ร.ม. ของ 12 และ 16 คือ 4 ดังนั้นเศษส่วนอย่างต่ำของ 12/16 คือ 3/4
3. (ควรรู้) ห.ร.ม. ของจำนวนเฉพาะทุกตัว เท่ากับ 1 เสมอ เช่น ห.ร.ม. ของ 3, 5 และ 7 เท่ากับ 1 เท่านั้น ส่วน ค.ร.น. คือ 3 * 5 * 7 = 105

ประโยชน์ของ ห.ร.ม. :
1. ใช้ในการตัดทอนเศษส่วนให้เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ
2. ใช้ในการแบ่งสิ่งของที่มีจำนวนไม่เท่ากันออกเป็นส่วนๆ ที่เท่ากันโดยไม่ปะปนกันและให้เป็นจำนวนที่มากที่สุด

ตัวอย่าง 2 ตัวอย่าง : เช่น
1. จงทำจำนวนต่อไปให้เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ 28/35 และ 147/189
คำตอบ 28/35 = 4/5 (เพราะ ห.ร.ม.ของ 28 และ 35 คือ 7)
147/189 = 7/9 (เพราะ ห.ร.ม.ของ 147 และ189 คือ 21)

2. มีนักเรียน 3 ห้อง ห้องที่หนึ่งมี 36 คน ห้องที่สองมี 30 คน ห้องที่สามมี 42 คน ทั้งสามห้องจะให้นักเรียนแบ่งกลุ่ม ให้แต่ละกลุ่มมีจำนวนนักเรียนเท่ากันทุกกลุ่มจะมีจำนวนมากที่สุดกลุ่มละกี่คน

วิธีหา นักเรียนห้องที่หนึ่ง แบ่งเป็นกลุ่มละ 2, 3. 4, 6, 9, 12 หรือ 18 คน
นักเรียนห้องที่สอง แบ่งเป็นกลุ่มละ 2, 3, 5, 10 หรือ 15 คน
นักเรียนห้องที่สาม แบ่งเป็นกลุ่มละ 2, 3, 6, 7, 14 หรือ 21 คน
ทั้งสามห้องแบ่งเป็นกลุ่มที่เท่ากันได้กลุ่มละ 2 หรือ 3 คน
ดังนั้น เมื่อแบ่งกลุ่มแล้วทั้งสามห้องจะมีจำนวนมากที่สุดกลุ่มละ 3 คน (หรือพูดง่าย ๆ ห.ร.ม. ของ 36, 30 และ 42 เท่ากับ 3 ใช่เปล่า)

ประโยชน์ของ ค.ร.น. :
1. ใช้ในการบวกลบเศษส่วน (ทำส่วนของเศษส่วนทุกจำนวนให้เท่ากัน)
2. ใช้หาเวลาร่วมกันของการใช้เวลาที่แตกต่างกันในเรื่องเดียวกัน

ตัวอย่าง 2 ตัวอย่าง :

1. จงหาผลลัพธ์ของ 1/2 + 1/7 - 3/5

วิธีหา 1. หา ค.ร.น. ของส่วนของทุกจำนวน หรือ หา ค.ร.น. ของ 2, 7 และ 5 ซึ่งเท่ากับ 70
2. เอาส่วนของแต่ละจำนวนไปหาร ค.ร.น. แล้วนำผลหารที่ได้ไปคูณเศษของมัน
2.1 70/2 = 35 แล้วเอาไปคูณ 1 ได้ 35
2.2 70/7 = 10 แล้วเอาไปคูณ 1 ได้ 10
2.3 70/5 = 14 แล้วเอาไปคูณ 3 ได้ 42
3. นำผลคูณที่ได้ตามข้อ 2. มาบวก ลบกัน ได้ 35 + 10 - 42 = 3/70
4. นำผลลัพธ์ที่ได้ตามข้อ 3. เป็น เศษ ซึ่งมีส่วนเท่ากับ ค.ร.น. ใน ข้อ 1. คือ 3/70 (หากตัดทอนได้ก็ตัดทอนเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ หรือหากเศษมากกว่าส่วนก็เปลี่ยนเป็นจำนวนคละก่อน จะเป็นคำตอบสุดท้าย)
ฉายช้ำอีกรอบ
1/2 + 1/7 - 3/5 = ((1x 35) + (1 x 10) - (3 x 14)) /70
= (35 + 10 - 42)/70
ตอบ เท่ากับ  3/70

2.มีรถไฟอยู่ 3 ขบวน รถไฟแบบธรรมดาจะออกทุกๆ 30 นาที รถไฟด่วนจะออกทุกๆ 45 นาที และรถไฟด่วนพิเศษจะออกทุกๆ 1 ชั่วโมง ถ้ารถไฟทั้ง 3 ขบวนออกพร้อมกันเวลา 7 นาฬิกา รถไฟทั้ง 3 ขบวนจะออกพร้อมกันอีกครั้งในเวลาเท่าไร

วิธีหา รถแต่ละขบวนจะออกครั้งต่อไปในทุก ๆ เวลา 30 นาที 45 นาที และ 1 ชั่วโมง (60 นาที) ตามลำดับ
ก่อนอื่นจึงต้องหา ค.ร.น. ของ 30, 45 และ 60 ซึ่งเท่ากับ 180
ดังนั้นรถทั้งสามขบวนจะออกพร้อมกันในครั้งต่อไป ในอีก180 นาที หรือ 3 ชั่วโมง
เมื่อครั้งแรกออกพร้อมกันเวลา 7 นาฬิกา ครั้งต่อไปที่จะออกพร้อมกัน คือ 10 นาฬิกา

ตอบ รถไฟทั้ง 3 ขบวนจะออกพร้อมกันอีกครั้งในเวลา 10 นาฬิกา

ตัวหารร่วมที่มากทีสุด (ห.ร.ม.)
ตัวหารร่วมที่มากที่สุดของจำนวนใดๆ ตั้งแต่ 2 จำนวนขึ้นไป หมายถึง จำนวนที่มีค่ามากที่สุดที่สามารถหารจำนวนทั้งหมดเหล่านั้นได้ลงตัว
วิธีการหา ห.ร.ม.
1. โดยการแยกตัวประกอบ มีิวิธีการดังนี้
(1) แยกตัวประกอบของจำนวนทุกจำนวนที่ต้องการหาร ห.ร.ม.
(2) เลือกตัวประกอบที่ซ้ำกันของทุกจำนวนมาคูณกัน
(3) ห.ร.ม. คือ ผลคูณที่ได้

ตัวอย่าง จงหา ห.ร.ม. ของ 56 84 และ 140
วิธีทำ 56 = 2 x 2 x 2 x 7
84 = 2 x 2 x 3 x 7
140 = 2 x 2 x 5 x 7
เลือกตัวที่ซ้ำกัน ที่อยู่ทั้ง 56 84และ 140 ตัวทีซ้ำกันเอามาซ้ำละ 1 ตัว
คือ มีเลข 2 เลข 2 และ เลข 7

ดังนั้น ห.ร.ม. = 2 x 2 x 7 = 28

2. การหารสั้น มีวิธีการดังนี้
1) นำจำนวนทั้งหมดที่ต้องการหา ห.ร.ม. มาเขียนเรียงกัน
2) หาจำนวนเฉพาะที่สามารถหารจำนวนทั้งหมดได้ลงตัวมาหารไปเรื่อยๆ จนกว่าไม่สามารถหาได้
3) นำตัวหารทุกตัวที่ใช้มาคูณกัน เป็นค่าของ ห.ร.ม.

ตัวอย่าง

แบบฝึกหัด ค.ร.น. (คูณร่วมน้อย)

1)	จงหาจำนวนที่น้อยที่สุดซึ่งหารด้วย 28 และ 42 ลงตัว		เฉลย ข้อ 1
2)	จงหาจำนวนที่น้อยที่สุดซึ่ง 30, 45 และ 60 สามารถหารลงตัว		เฉลย ข้อ 2
3)	จงหาจำนวนที่น้อยที่สุดซึ่งหารด้วย 42 และ 105 แล้วเหลือเศษ 5		เฉลย ข้อ 3
4)	จงหาจำนวนที่น้อยที่สุดซึ่งหารด้วย 18, 30 และ 84 แล้วเหลือเศษ 7		เฉลย ข้อ 4
5)	จงหาจำนวนที่น้อยที่สุดซึ่งหารด้วย 3 แล้วเหลือเศษ 2 และหารด้วย 4 แล้วเหลือเศษ 3		เฉลย ข้อ 5
6)	M คือ เลขจำนวนเต็มบวก เมื่อหาร M ด้วย 14 จะเหลือเศษ 13 เมื่อหาร M ด้วย 18 จะเหลือเศษ 17 เมื่อหาร M ด้วย 20 จะเหลือ 19 จงหาค่า M ที่น้อยที่สุด		เฉลย ข้อ 6
7)	จัดสมุดใส่กล่อง แต่ละกล่องมีจำนวนสมุดเท่ากัน เพื่อนำไปแจกนักเรียนห้องป.1 และ ป.2 โดยให้ห้องละ 1 กล่อง ห้องป.1 มีนักเรียน 20 คน ห้องป.2 มีนักเรียน 30 คน ต้องการให้นักเรียนที่อยู่ในห้องเดียวกันได้รับสมุดเท่ากัน และแต่ละห้องต้องไม่มีเศษเหลือจากการแจก 7.1) ต้องจัดสมุดใส่กล่องอย่างน้อยกล่องละกี่เล่ม 7.2) นักเรียนป.1 ได้รับสมุดอย่างน้อยคนละกี่เล่ม 7.3) นักเรียนป.2 ได้รับสมุดอย่างน้อยคนละกี่เล่ม		เฉลย ข้อ 7
8)	คุณแม่พาลูก 3 คน คือ โอ๋ เอ๋ และ อ้อไปร้านขนม โอ๋ อยากกินขนมปัง ราคาชิ้นละ 8 บาท เอ๋ อยากกินโดนัท ราคาชิ้นละ 20 บาท อ้อ อยากกินแซนวิช ราคาชิ้นละ 16 บาท คุณแม่ให้เงินลูกแต่ละคนเท่ากัน เพื่อให้ซื้อขนมที่แต่ละคนอยากกิน โดยคุณแม่จ่ายเงินน้อยที่สุด เพื่อให้ลูกแต่ละคนได้รับเงินที่สามารถซื้อขนมที่ต้องการได้พอดีโดยไม่ต้องทอนเงิน ถามว่า จำนวนขนมปังของโอ๋ มากกว่าจำนวนโดนัทของเอ๋กี่ชิ้น		เฉลย ข้อ 8
9)	โรงแรมแห่งหนึ่งมีรถตู้บริการรับส่งแขกของโรงแรมไป 3 สถานที่ รถตู้ไปสนามบิน ออกจากโรงแรมทุก 120 นาที รถตู้ไปสถานีรถไฟหัวลำโพง ออกจากโรงแรมทุก 90 นาที รถตู้ไปสถานีรถไฟฟ้า ออกจากโรงแรมทุก 45 นาที ถ้ารถตู้ 3 คันนี้ออกจากโรงแรมพร้อมกันเวลา 6.15 น. รถตู้ทั้ง 3 ค้นนี้จะออกจากโรงแรมพร้อมกันอีกครั้งเวลาเท่าไร ?		เฉลย ข้อ 9
10)	ถนนเส้นหนึ่งมีการตั้งตู้ไปรษณีย์ที่ริมถนนสองข้าง ตู้ไปรษณีย์ที่ตั้งริมถนนข้างบนแต่ละตู้อยู่ห่างกัน 0.45 กิโลเมตร ตู้ไปรษณีย์ที่ตั้งริมถนนข้างล่างแต่ละตู้อยู่ห่างกัน 0.50 กิโลเมตร ฐานของตู้ไปรษณีย์ยาว 1 เมตร การวัดระยะห่างของตู้ไปรษณีย์วัดจากจุดกึ่งกลางฐาน มีตู้ไปรษณีย์ตั้งอยู่ที่หัวถนนและท้ายถนน ถนนเส้นนี้ยาวอย่างน้อยกี่กิโลเมตร แบบฝึกหัด ค.ร.น.และ ห.ร.ม.

1)	ในงานเลี้ยง เจ้าภาพเตรียมเครื่องดื่มไว้เลี้ยงแขก 3 ชนิด ใส่โถ 3 ใบ คืน นมจืด, นมช็อคโกแลต และน้ำส้ม อย่างละโถ เท่ากัน นมจืดในโถได้จากนมขวด ซึ่งบรรจุขวดละ 900 มิลลิลิตร นมช็อคโกแล็ตในโถได้จากนมกล่อง ซึ่งบรรจุกล่องละ 250 มิลลิลิตร น้ำส้มในโถได้จากน้ำส้มกล่อง ซึ่งบรรจุกล่องละ 1,000 มิลลิลิตร การเทเครื่องดื่มแต่ละชนิดจากขวดหรือกล่องลงโถต้องเทให้ได้ 1 โถเต็ม และไม่มีเศษเหลืออยู่ในขวดหรือกล่อง โถเครื่องดื่มที่เล็กที่สุดสำหรับงานเลี้ยงนี้มีความจุกี่ลิตร (1 ลิตร = 1,000 มิลลิลิตร)		เฉลย ข้อ 1
2)	ในการจัดถุงยังชีพเพื่อแจกผู้ประสบอุทกภัย มีผู้บริจาค ปลากระป๋อง 105 กระป๋อง บะหมี่สำเร็จรูป 147 ซอง กระดาษทิชชู 42 ม้วน จัดของบริจาคลงถุงยังชีพ ให้ทุกถุงมีปลากระป๋อง บะหมี่สำเร็จรูป และกระดาษทิชชู จัดให้ได้จำนวนถุงยังชีพมากที่สุด โดยทุกถุงมีปริมาณสิ่งของเท่ากัน และไม่มีเศษเหลือ เมื่อจัดเสร็จแต่ละถุงมีปลากระป๋อง บะหมี่สำเร็จรูป และกระดาษทิชชู อย่างละเท่าไร		เฉลย ข้อ 2
3)	พี่น้อง 3 คน คือ ต้น, ตูน และ ต่าย ได้รับคูปองเงินสด ซื้อของในห้างสรรพสินค้าแห่งหนึ่ง ต้น ได้คูปองใบละ 30 บาท จำนวน 40 ใบ ตูน ได้คูปองใบละ 60 บาท จำนวน 20 ใบ ต่าย ได้คูปองใบละ 80 บาท จำนวน 15 ใบ ห้างกำหนดเงื่อนไขการใช้คูปองไว้ว่าการซื้อสินค้าด้วยคูปองจะไม่มีการทอนเงิน ผู้ใช้คูปองจึงต้องซื้อสินค้าเท่ามูลค่าคูปองพอดี ทั้ง 3 คนพี่น้องตกลงกันว่าจะแบ่งคูปองของแต่ละคนส่วนหนึ่งสำหรับซื้อของเข้าบ้าน คูปองส่วนที่เหลือสำหรับซื้อของส่วนตัวของแต่ละคน ทุกคนต้องซื้อของเข้าบ้านด้วยมูลค่าที่เท่ากันโดยใช้คูปองของตัวเอง เพื่อให้เหลือคูปองสำหรับซื้อของส่วนตัวมากที่สุด พวกเข้าต้องซื้อของเข้าบ้านคนละกี่บาท		เฉลย ข้อ 3
4)	ณ สามแยกของถนนแห่งหนึ่ง ในช่วงเทศกาลปีใหม่มีการติดไฟประดับบน 2 ฝั่งถนน ดังรูป ติดไฟประดับสีแดงไว้ที่หัวถนนและท้ายถนน ติดไฟประดับสีฟ้าระหว่างหัวถนนและท้ายถนน ไฟประดับทุกดวงมีระยะห่างเท่ากัน ความยาวถนนในภาพมีหน่วยเป็นเมตร เพื่อให้เสียค่าใช้จ่ายน้อยที่สุด ต้องติดไฟประดับสีฟ้าทั้งหมดกี่ดวง (จำนวนไฟประดับสีฟ้าในรูปเป็นเพียงตัวอย่าง)		เฉลย ข้อ 4
5)	ขนมยี่ห้อง "หอมกรุ่น" มีจุดเด่นคืออบขายหน้าร้านเพื่อให้ลูกค้าได้กลิ่นหอมของขนมที่นำออกมาจากเตาอบ การอบขนมมีแม่พิมพ์ 3 แบบ แม่พิมพ์แบบตาข่ายใช้วัตถุดิบ 273 กรัมต่อขนม 1 ชิ้น แม่พิมพ์แบบแท่งใช้วัตถุดิบ 195 กรัมต่อขนม 1 ชิ้น แม่พิมพ์แบบกลมใช้วัตถุดิบ 130 กรัมต่อขนม 1 ชิ้น ส่วนผสมของวัตถุดิบถูกผสมจากสำนักงานใหญ่โดยผสมในหม้อใหญ่ แล้วตักแบ่งใส่กล่องเพื่อส่งไปแต่ละสาขา การอบขนมที่สาขาใช้แม่พิมพ์เพียงแบบเดียวต่อการอบแต่ละครั้ง โดยใช้วัตถุดิบ 1 กล่องต่อการอบ 1 ครั้ง ไม่ว่าจะใช้แม่พิมพ์แบบใด วัตถุดิบ 1 กล่องจะใช้หมดพอดีไม่เศษวัตถุดิบเหลือในกล่อง การผสมวัตถุดิบที่สำนักงานใหญ่ผสมในหม้อครั้งละ 27.3 กิโลกรัม ตักวัตถุดิบใส่กล่องเพื่อให้ได้จำนวนกล่องมากที่สุด วัตถุดิบ 1 หม้อตักใส่กล่องได้กี่กล่อง (1 กิโลกรัม = 1,000 กรัม)		เฉลย ข้อ 5
6)	ชาวสวนผลิตน้ำตาลสดบรรจุขวดพลาสติก ขวดละ 300 กรัม น้ำตาลสดถูกขายส่งจากสวนเป็นลัง ซึ่งมีลัง 3 ขนาด ลังขนาดเล็กบรรจุลังละ 8 ขวด ลังขนาดกลางบรรจุลังละ 12 ขวด ลังขนาดใหญ่บรรจุลังละ 20 ขวด น้ำหนักลังเปล่าขนาดเล็ก หนักลังละ 1,200 กรัม น้ำหนักลังเปล่าขนาดกลาง หนักลังละ 1,800 กรัม น้ำหนักลังเปล่าขนาดใหญ่ หนักลังละ 2,400 กรัม  การขนน้ำตาลสดจากสวนไปส่งให้ลูกค้าใช้เรือเป็นพาหนะ การส่งน้ำตาลสดแต่ละเที่ยวจะขนลังขนาดเล็ก หรือขนาดกลาง หรือขนาดใหญ่ เพียงขนาดเดียว การขนน้ำตาลสดลงเรืองต้องขนเต็มลัง และเต็มความสามารถในการบรรทุกของเรือพอดี เรือที่ชาวสวนใช้ต้องสามารถบรรทุกน้ำหนักได้น้อยที่สุดกี่กิโลกรัม จึงจะใช้ขนน้ำตาลสดได้ ทั้งลังขนาดเล็ก ขนาดกลาง และขนาดใหญ่ (ไม่รวมน้ำหนักของคนขับเรือ)		เฉลย ข้อ 6
7)	ร้านสะดวกซื้อส่งเสริมการขายเครื่องดื่มชาเขียว 3 ยี่ห้อ แต่ละยี่ห้อแถมแสตมป์ลายต่างกัน ตามเงื่อนไขดังนี้ ชาเขียวยี่ห้อ โออิชิ ราคาขวดละ 16 บาท ซื้อ 3 ขวด แถมแสตมป์ลายที่ 1 จำนวน 1 ดวง ซื้อไม่ครบ 3 ขวด ไม่ได้แถมแสตมป์ ชาเขียวยี่ห้อ ลิปตัน ราคาขวดละ 20 บาท ซื้อ 2 ขวด แถมแสตมป์ลายที่ 2 จำนวน 1 ดวง ซื้อไม่ครบ 2 ขวด ไม่ได้แถมแสตมป์ ชาเขียวยี่ห้อ ยูนิฟ ราคาขวดละ 12 บาท ซื้อ 3 ขวด แถมแสตมป์ลายที่ 3 จำนวน 1 ดวง ซื้อไม่ครบ 3 ขวด ไม่ได้แถมแสตมป์ เด็กคนหนึ่งอยากได้แสตมป์ทั้ง 3 ลายจึงขอให้คุณแม่ซื้อชาเขียวทั้ง 3 ยี่ห้อ คุณแม่ซื้อชาเขียวแต่ละยี่ห้อด้วยจำนวนเงินที่เท่ากัน โดยคุณแม่เลือกที่จะจ่ายเงินน้อยที่สุด เด็กคนนี้ได้แสตมป์ทั้งหมดกี่ดวง จากการซื้อชาเขียวของคุณแม่		เฉลย ข้อ 7
8)	ฟาร์มปลาสวยงามเลี้ยงปลา 3 ชนิด ปลาทอง 165 ตัว ปลาคาร์ฟ 132 ตัว ปลาอโรวาน่า 66 ตัว ปลาเหล่านี้ถูกเลี้ยงในบ่อ แต่ละบ่อมีจำนวนปลาเท่ากัน ปลาต่างชนิดไม่อยู่ในบ่อเดียวกัน เจ้าของฟาร์มต้องการลงทุนสร้างบ่อปลาน้อยที่สุด ถามว่า ต้องสร้างบ่อปลาน้อยที่สุดกี่บ่อ		เฉลย ข้อ 8
9)	สนามฟุตบอลรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าของโรงเรียน 3 แห่งมีขนาดต่างกันดังนี้ สนามฟุตบอลของโรงเรียนที่ 1 กว้าง 78 เมตร ยาว 90 เมตร สนามฟุตบอลของโรงเรียนที่ 2 กว้าง 80 เมตร ยาว 95 เมตร สนามฟุตบอลของโรงเรียนที่ 3 กว้าง 100 เมตร ยาว 145 เมตร จัดให้นักเรียนทั้ง 3 โรงเรียนวิ่งรอบสนามฟุตบอลของแต่ละโรงเรียนเป็นระยะทางเท่ากัน โดยวิ่งครบรอบสนาม ต้องจัดให้นักเรียนวิ่งระยะทางสั้นที่สุดกี่เมตร		เฉลย ข้อ 9
10)	บริษัทท่องทะเลทัวร์ มีรถบัสรับส่งนักท่องเที่ยว 3 ขนาดคือ รถบัสขนาดเล็กมี 54 ที่นั่ง รถบัสขนาดกลางมี 60 ที่นั่ง รถบัสขนาดใหญ่มี 84 ที่นั่ง บริษัทให้บริการจัดเรือเล็กพานักท่องเที่ยวไปดำน้ำ โดยให้บริการนักท่องเที่ยวครั้งละ 1 คันรถบัส ซึ่งอาจจะเป็นรถบัสขนาดเล็ก ขนาดกลาง หรือขนาดใหญ่ เรือเล็กทุกลำมีจำนวนที่นั่งเท่ากัน การจัดนักท่องเที่ยวขึ้นเรือต้องจัดให้นั่งเต็มลำเรือเสมอ และนักท่องเที่ยวทุกคนต้องได้ขึ้นเรือ บริษัทต้องลงทุนซื้อเรือน้อยที่สุดกี่ลำ เพื่อรองรับนักท่องเที่ยวแต่ละครั้งอย่างเพียงพอสำหรับรถบัสทุกขนาด		เฉลย ข้อ 10