ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ทฤษฎีบทของพีทาโกรัส กล่าวไว้ว่า

แบบที่ 1 ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ ความยาวกำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากมีค่าเท่ากับผลบวกของความยาวกำลังสองของด้านประกอบมุมฉากทั้งสองด้าน หรือพิจารณาจากพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส

แบบที่ 2 ในรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากใด ๆ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมฉากมีค่าเท่ากับผลบวกของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านประกอบมุมฉากสองด้าน ดังรูปประกอบ

จากรูป จะสังเกตว่า พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสสีแดง(ด้านตรงข้ามมุมฉาก)จะเท่ากับ ผลรวมของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสสีน้ำเงิน(ด้านประกอบมุมฉาก)

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ถ้าสามเหลี่ยม ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งมี C เป็นมุมฉาก ด้านตรงข้ามมุมฉาก(C) ยาว c ด้านตรงข้ามมุม A ยาว a ด้านตรงข้ามมุม B ยาว b ดังรูป

จะได้ความสัมพันธ์ระหว่างความยาวของด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ดังนี้

c²=a²+b²

ทฤษฎี บทพีทาโกรัสนี้ ง่ายมากๆครับ และสามารถนำไปประยุกต์ใช้ในการแก้ปัญหาได้ตลอด และชอบออกข้อสอบ o-net เท่าที่ติดตามออกทุกปีครัับ ฉนั้นต้องเข้าใจและต้องทำโจทย์เยอๆครับ
ถ้าแปลเป็นภาษาพูดง่ายๆ ของทฤษฎีนี้ก็คือ ด้านตรงข้ามมุมยกกำลังสอง เท่ากับ ด้านที่เหลือยกกำลังสองบวกกัน ครับ มาดูตัวอย่างการนำไปใช้กันครับ

ตัวอย่างที่ 1 จงหาความยาวที่เหลือของรูปสามเหลี่ยมต่อไปนี้

วิธีทำ จากรูปจะเห็นได้ว่าสามเหลี่ยมที่กำหนดให้เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากน่ะครับ ดังนั้นเราสามารถหาความยาวด้านที่เหลือได้โดยใช้ทฤษฏีบทพีทาโกรัสได้เลยครับ 
จากทฤษฏีบทพีทาโกรัส คือ ด้านตรงข้ามมุมฉากยกกำลังสอง เท่ากับ ด้านที่เหลือยกกำลังสองแล้วบวกกัน นั่นคือ

c²=a²+b²

จากรูป  a=4 , b=3  หาค่าของ c ครับ

จะได้ว่า

c²=4² + 3²

=16 + 9

= 25

นั่นคือ c²=25

ดังนั้น c=5

ตอบ c ยาว 5 หน่วย

ตัวอย่างที่ 2 จงหาความยาวที่เหลือของสามเหลี่ยมต่อไปนี้

วิธีทำ จากรูปจะเห็นได้ว่าสามเหลี่ยมที่กำหนดให้เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากน่ะครับ ดังนั้นเราสามารถหาความยาวด้านที่เหลือได้โดยใช้ทฤษฏีบทพีทาโกรัสได้เลยครับ

จากทฤษฏีบทพีทาโกรัส คือ ด้านตรงข้ามมุมฉากยกกำลังสอง เท่ากับ ด้านที่เหลือยกกำลังสองแล้วบวกกัน ด้านตรงข้ามมุมฉากคือด้าน d

นั่นคือ

d² = 7²+24²

d² = 49+576

d² = 625

d =  25

ตอบ d ยาว 25 หน่วย

ตัวอย่างที่ 3 จงหาความยาวที่เหลือของสามเหลี่ยมต่อไปนี้

วิธีทำ จากรูปจะเห็นได้ว่าสามเหลี่ยมที่กำหนดให้เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากน่ะครับ ดังนั้นเราสามารถหาความยาวด้านที่เหลือได้โดยใช้ทฤษฏีบทพีทาโกรัสได้เลยครับ

จากทฤษฏีบทพีทาโกรัส คือ ด้านตรงข้ามมุมฉากยกกำลังสอง เท่ากับ ด้านที่เหลือยกกำลังสองแล้วบวกกัน

ด้านตรงข้ามมุมฉากคือด้าน c

นั่นคือ

c²=5²+12²

c²=25+144

c²=169

c=13

ตอบ c ยาว  13 หน่วย

 ตัวอย่างที่ 4 จงหาความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากของรูปสามเหลี่ยมต่อไปนี้

วิธีทำ จากรูปจะเห็นได้ว่ารูปที่กำหนดให้เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ดังนั้นเราสามารถใช้ทฤษฎีพีทาโกรัสหาความยาวของสามเหลี่ยมนี้ได้ครับ   จากรูปจะได้ว่า

AB²=AC²+BC²

AB²=8²+15²

AB²=64+225

AB²=289

AB=17

ดังนั้น AB ยาว 17 หน่วยครับ

ตอบ ด้านตรงข้ามมุมฉากยาว  17 หน่วย

ตัวอย่างที่ 4 จงหาความยาวของด้านที่เหลื่อของสามเหลี่ยมต่อไปนี้

วิธีทำ จากรูปจะเห็นได้ว่า

ด้านตรงข้ามมุมฉาก คือ PR ยาว 15 หน่วย

ด้าน QR ยาว 12 หน่วย

ต้องหาความยาวของ PQ

เนื่องจากรูปสามเหลี่ยมรูปนี้เป็นรูปสามเหลี่ยมุมฉาก ดังนั้น สามารถหาความที่เหลือโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

คือ  ด้านตรงข้ามมุมฉากยกกำลังสอง = ด้านที่เหลื่อยกกำลังสองแล้วนำมาบวกกัน

นั่นคือ

PR²=QR²+PQ²

แทนค่าความยาวตามที่โจทย์กำหนดให้ลงไปเลยครับ จะได้

15²=12²+PQ² แก้สมการเพื่อหาค่า PQ คับ จะได้

PQ²=15²-12²

PQ²=225-144

PQ²=81

PQ=9

นั่นคือ PQ ยาว 9 หน่วย

ตอบ ความยาวของด้านที่เหลือคือด้าย PQ ยาว  9  หน่วย

ขอบคุณที่มา : https://sites.google.com/a/web1.dara.ac.th/pythagoras/--sara-kar-reiyn-ru/--thvsdibth-pi-tha-ko-ras

http://www.mathpaper.net/index.php/2013-01-01-12-26-42